2013 초등임용 기출수사대 / (5) 수학2번

2013 초등임용 기출수사대 / (5) 수학2번

이번 문제 역시도 쇼킹한 문제가 나와 있습니다. ㅠ 

전 수학문제가 나온 페이지를 본 순간 이게 뭔가 싶었습니다.

문제들이 저를 겁준다고 해야하나, 놀린다고 해야하나... 뭐 좋은 기분은 아니었습니다. ㅠ 

아무튼 쇼킹한 문제가 나왔을때 이를 극복하는 방법은 마음의 평정심을 되찾는거, 아시죠? 

후..하...후..하. 집중!

이번 문제에서는 교과교육론에서 1문제, 응용력과 순발력을 요구하는 문제가 1문제 나왔습니다.

문제를 보면서 설명하겠습니다.

기하학습을 인지, 분석, 관계, 연역, 공리의 5개 수준으로 구분한 학자는 누구일까요?

보기 나갑니다.

① 피아제 ② 딘즈 ③ 브루너 ④ 반힐레 ⑤ 프로이덴탈 ⑥ 스켐프

네. 맞습니다. 반힐레입니다. 반힐레 하면 기하학습, 즉 도형을 생각하시면 됩니다. 반힐레의 기하학습 수준은 5가지수준으로 나눠집니다. 초등학교에서 눈여겨 볼 수준은 1수준, 2수준, 3수준이며, 4수준과 5수준은 초등학교 단계를 넘어서는 수준입니다. 그러니 초등임용 문제에서는 4수준, 5수준을 묻는 문제는 출제가 되기 어렵습니다. 이 문제는 1수준, 2수준, 3수준의 특성들을 확실하게 구분할 수 있었다면 해결할 수 있는 문제였습니다.(만 봐도봐도 헷갈리네요. 사실 분석을 하고는 있지만 왜 이게 답일까 확답못하겠어요.ㅠ)

먼저 반힐레의 기하학습 수준 이론의 1수준, 2수준, 3수준을 살펴 보겠습니다.

1수준 : 시각적 인식수준

주변 대상을 모양이라는 측면에서 인식하고 파악하는 단계.

2수준 : 분석적 수준

도형의 성질에 주목하여 도형의 구성 요소와 성질에 대한 비형식적 분석(관찰과 실험)을 통해 도형을 파악

3수준 : 관계(비형식적 연역)수준

한 도형 내에서 또는 다른 도형들과의 성질에서의 상호 관련성을 파악. 간단한 추론은 가능하지만 증명은 이해하지 못한다.

민수의 말을 먼저 살펴볼까요?

몇 개의 도형을 만들어 보았더니 정삼각형을 1개 붙일 때마다 둘레의 길이는 1씩 증가해요.

1수준 / 2수준 / 3수준 중에서 어떤 수준일까요?

아, 헷갈립니다.

민수는 정삼각형을 1개 붙일 때마다 둘레의 길이는 1씩 증가한다는 성질을 파악하고 있으니, 2수준이라고 생각이 드는데, 이러이러 하니까 2수준이다 라고 확답할 수 없어 찜찜하네요.ㅠ

제가 분석 수준이라고 생각하는 이유는 "관찰과 실험을 통해 도형의 특성을 식별하고 있기 때문이다."입니다.

영호는 어떤가요?

새로운 변이 2개씩 추가되지만, 이어 붙인 부분은 둘레의 길이에서 제외되기 때문에 만들어지는 도형의 둘레는 1씩 증가해요. 그래서 규칙을 만들어보면 둘레의 길이는 (정삼각형의 개수)+2와 같아요.

1수준인가요? 2수준인가요? 3수준인가요? 

느낌으로 3수준이라고 생각되는데, 왜 그런지 명확하게 설명할 수 없네요. ㅠ

제가 관계수준이라고 생각하는 이유는 "다른 도형들과의 성질에서 상호관련성을 이해하고 있기 때문이다."입니다.

명확한 이유를 아시는 분들은 댓글로 설명좀 부탁드립니다.^^

댓글의견1) 쌤샘님께서 댓글 의견 주셨습니다. 소중한 의견 감사합니다^^

• 쌤샘 2013/10/20 00:51 

  영호. : 상호관련성 인식에 비형식적 논증을 하고있다. 를 덧붙이면더좋을것같아요 ~!

예상답안

㉠ 분석수준 / 이유 : 관찰과 실험을 통해 도형을 특성을 식별하고 있기 때문이다.

㉡ 관계수준 / 이유 : 다른 도형들과의 성질에서 상호 관련성을 이해하고 있기 때문이다.

2)번 문제는 응용력과 순발력을 요구하는 문제라고 생각합니다. 그냥 막 막 그려보세요. 물론 이런 유형의 문제에 대해 기본적인 지식이 있는 분이라면 쉽게 해결할 수 있겠지만, 아니라면 몸으로 부딪혀 보는 수 밖에요. 그냥 막 그려보세요. 이 문제의 출처는 찾지 못했습니다. 아시는 분 있으면 말씀 좀 해주세요.^^

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추가제보 / 닉네임 2013/05/09 17:19      

도형을 그리고 둘레의 최소 길이를 구하는 2번 문제의 근거는 '테셀레이션' 이라고 생각합니다. 

빈틈 없이 바닥을 덮는 도형에 관한 응용문제인 것 같습니다. 

출처는 4학년 2학기 지도서 '도형' 파트(4-2-4)의 '사각형과 다각형' 단원 8차시와 탐구생활(p.199) 입니다. 참고로 테셀레이션에 대한 자세한 설명은 3학년 2학기 지도서 '규칙성과 문제 해결' 파트(3-2-8)의.. '규칙 찾기와 문제 해결' 단원 중 '생각해 볼 내용(p.294-295)'에 실려 있습니다. 

닉네임님께서 꼬마문제 2번의 예상출처를 찾아주셨습니다. 예상출처는 테셀레이션

닉네임님 감사합니다. 닉네임님이 언급하신 지도서 원문을 살펴볼까요?

4학년2학기 4단원 8차시 내용

4학년2학기 4단원 탐구생활 내용

3학년2학기 8단원 생각해볼 내용 중 테셀레이션 설명부분

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닉네임님께서 꼬마2번문제의 출처를 확실하게 찾아주셨습니다. 

닉네임님 감사합니다.^^ 닉네임님께서 올려주신 댓글을 첨부합니다.

닉네임 2013/05/24 09:36      

둘레의 최소 길이를 구하는 문제의 출처.. 

원래 의미가 그것이 아니어서 '테셀레이션' 이라 말씀드리고도 영 찜찜했던 차에 다른 출처를 찾았습니다. 

6학년 2학기 '8. 문제 해결 방법 찾기' 단원의 '탐구활동(지도서 p.329)'입니다. 

정사각형을 하나씩 늘려가며 최소 둘레의 길이를 찾는 활동입니다.

이 활동에서 쓰인 소재 '사각형'을 단순히 '삼각형'으로 바꾼 듯 합니다. 

그걸 알고 다시 문제를 풀어보니 문제에 제시된 정삼각형 조작 활동에서도 규칙성을 찾을 수 있었습니다.

즉, 정삼각형이 2개 겹쳐져 있을 때(둘레의 길이 4) 부터는, 

정삼각형이 하나씩 늘어갈 때마다 둘레의 길이가 +1, +1, +1, -1..의 패턴을 보입니다. 

그렇기 때문에 둘레의 길이는 3, 4, 5, 6, 7, '6', 7, 8, 9, '8', 9, 10, 11, '10'..이 됩니다. 

결국 지문에서 (중략) 되어 있는, 정삼각형 6개로 만들 수 있는 둘레의 최소 길이만 구할 수 있었다면 

규칙성은 의외로 쉽게 찾아지는 문제였습니다. 

물론 직접 그려보아야 풀린다는 점은 변하지 않지만..

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이번 분석은 뭔가 확실하지 않은 느낌이 드네요.ㅠ.ㅠ 

글을 보시고 추가할 내용이 있으면 언제든지 말씀해주세요.^^ 

이번 문제에서는 수학 학자가 주장한 이론들을 문제로 만들었습니다. 

수학 총론이나 교육론 책에 몇몇 학자들과 이론들이 등장합니다. 

피아제, 비고츠키, 프로이덴탈, 스켐프, 휘시바인, 브루너, 폴리아, 딘즈, 듀이, 헤브, 구성주의적 관점...

학자들이 주장한 내용들을 핵심 키워드로 정리해서 기억해두시면 시험칠때 많은 도움이 되실거에요.

2013년 이전의 시험에 기출된 문제들을 보면 깊이 있게 출제된 문제들이 없습니다. 단순한 암기 내용이 주를 이루었습니다. 2013년에는 단순한 암기에 약간의 사고력을 요구하는 문제들을 출제됐구요.

2014년에도 약간의 사고력을 요구하는 문제가 출제된다고 가정한다면, 

어떤 내용들을 정리할 때 (시간은 조금 걸리더라도) 확실하게 이해한 상태에서 암기를 하시기 바랍니다. 

다음 시간에는 수학 세번째 문제를 함께 살펴보겠습니다. 

주말 잘 보내세요.^^